Question

设函数f(x)=ex-

k

2

x2-x．
（Ⅰ）若k=0，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若k=1，讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当k=0时利用导数判断出f（x）的单调性，由单调性即可求得其最小值；
（Ⅱ）当k=1时，利用导数判断出f′（x）的符号即可；

解答：解：（Ⅰ）k=0时，f（x）=e^x-x，f'（x）=e^x-1．
当x∈（-∞，0）时，f'（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0．
所以f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
故f（x）的最小值为f（0）=1．
（Ⅱ）若k=1，则f(x)=ex-

1

2

x2-x，定义域为R．
∴f'（x）=e^x-x-1，令g（x）=f'（x）=e^x-x-1，
则g′（x）=e^x-1，
由g'（x）≥0得x≥0，所以g（x）=f'（x）在[0，+∞）上递增，
由g'（x）＜0得x＜0，所以g（x）=f'（x）在（-∞，0）上递减，
所以，f'（x）_min=f'（0）=0，故f'（x）≥0．
所以f（x）在R上递增．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性及用导数求函数在闭区间上的最值问题，导数是研究函数的有力工具，应熟练掌握导数与函数单调性、极值、最值间的关系．