Question

已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长为,离心率，过右焦点的直线交椭圆于，两点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）当直线的斜率为1时，求的面积；

（Ⅲ）若以为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线的方程.

Answer 1

已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长为,离心率，过右焦点的直线交椭圆于，两点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）当直线的斜率为1时，求的面积；

（Ⅲ）若以为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线的方程.

解：（Ⅰ）由已知，椭圆方程可设为．      ----------------1分

∵长轴长为,离心率，∴．

所求椭圆方程为．                         ---------------- 4分

（Ⅱ）因为直线过椭圆右焦点，且斜率为，所以直线的方程为．

设，

由      得  ，解得 ．

∴ ．         ---------------9分

（Ⅲ）当直线与轴垂直时，直线的方程为，此时小于，为邻边的平行四边形不可能是矩形．

当直线与轴不垂直时，设直线的方程为．

由   可得．

∴．

，

因为以为邻边的平行四边形是矩形.

        由得，

.

所求直线的方程为．  ----------------13分