Question

已知双曲线的方程为x²-=1,过双曲线的右焦点且斜率为k(k＞0)的直线交双曲线于A、B两点,且OA⊥OB,求|AB|的长.

Answer 1

思路分析:由弦长公式|AB|=·,但必须先求出k值.

设直线l的方程,利用OA⊥OB求出k值,即得|AB|的长度.

解:双曲线x²-=1的右焦点F(2,0).

则过右焦点的直线l的方程为y=k(x-2).

由(3-k²)x²+4k²x-(4k²+3)=0.

设A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),

则

∴k∈R⁺且k≠-.

由韦达定理得x₁+x₂=

又∵,则x₁x₂+y₁y₂=0.

由A、B两点都在l:y=k(x-2)上,则

y₁·y₂=k²(x₁-2)(x₂-2)

=k²［x₁x₂-2(x₁+x₂)+4］,

由y₁y₂=-x₁x₂,则(k²+1)x₁x₂-2k²(x₁+x₂)+4k²=0.                                       （2）

将（1）代入（2）中得

(k²+1)·-2k²·+4k²=0.

∴5k²=3.

∴k=±.

又∵k＞0,∴k=.

∴|AB|=·

=

=·==4.

∴|AB|=4.