Question

已知直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中,AB=4,AC=AA₁=2,∠CAB=60°.

(1)求证:A₁C⊥B₁C₁;

(2)求点B₁到平面A₁BC的距离;

(3)求二面角C₁-A₁B-C的大小.

Answer 1

解法一:(1)在△ABC中,BC²=AB²+AC²-2AB·AC·cos∠BAC=16+4-16cos60°=12,?

?

∴BC=,AC²+BC²=AB².??

∴∠ACB=90°,即BC⊥AC.?

由直三棱柱性质知:平面ACC₁A₁⊥平面ABC.

∴BC⊥平面ACC₁A₁.

∴BC⊥A₁C.?

又BC∥B₁C₁,∴B₁C₁⊥A₁C.?

(2)∵BC∥B₁C₁,BC平面ABC,

∴B₁C₁∥平面A₁CB.?

∴B₁点到平面A₁CB的距离等于点C₁到平面A₁CB的距离.?

设点B₁到平面A₁CB的距离为h,则?

V_B1—A1BC?=V_C1—A1BC?=V_B—A1C1C?.?

∴h=.?

(3)连结AC₁,交A₁C于O,过O作OD⊥A₁B于D,连结C₁D.?

由(1)BC⊥平面ACC₁A₁,得平面BCA₁⊥平面ACC₁A₁.?

由正方形ACC₁A₁知AC₁⊥A₁C,

∴C₁A⊥平面A₁BC.?

∴OD是C₁D在平面A₁BC上的射影?.?

∴C₁D⊥A₁B(三垂线定理).?

∴∠ODC₁是二面角C₁-A₁B-C的平面角.?

在△A₁BC中,A₁B=,BC=,A₁C=,A₁O=.??

由,得OD=,?

∴tan∠ODC₁=.?

∴二面角C₁-A₁B-C的大小是arctan.?

解法二:先证∠ACB=90°,然后以C为原点,分别以CA、CB、CC₁为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.(略).