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    设数列的前项和为，且方程有一根为。

    （Ⅰ）求；（Ⅱ）猜想数列的通项公式，并给出严格的证明。

    解：（Ⅰ）    即

    令      解得

    令      解得

    （Ⅱ）解法一：

          化简得

         

          令 解得

         所以

         令

        所以   化简得

        而

        所以是以-2为首项，-1为公差的等差数列

        所以        得

    解法二：猜想，下面用数学归纳法证明：

    当时，，所以当时猜想成立

    假设当时，猜想成立

    即

    那么当时，

    所以当时猜想成立。

    综合（1）、（2）可得对于任意的正整数猜想都成立。

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    （09年长沙一中一模文）（13分）  设数列的前项和为，且，其中为常数且．

    （１）证明：数列是等比数列；

    （２）设数列的公比，数列满足，（

    　　　求数列的通项公式；

    （３）设，，数列的前项和为，求证：当时，．

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    （本题满分14分）.设数列的前项和为，且．
    （1）求数列的通项公式；
    （2）设，数列的前项和为，求证：．

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    科目：高中数学 来源：2012-2013学年湖北省八校高三第二次联考文科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    设数列的前项和为，且满足.

    （1）求数列的通项公式；

    （2）在数列的每两项之间按照如下规则插入一些数后，构成新数列：与两项之间插入个数，使这个数构成等差数列，其公差为，求数列的前项和为.

     

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    科目：高中数学 来源：2011-2012学年北京市海淀区高三5月查漏补缺数学试卷（解析版） 题型：解答题

    设数列的前项和为，且满足.

    （Ⅰ）求证：数列为等比数列；

    （Ⅱ）求通项公式；

    （Ⅲ）若数列是首项为1，公差为2的等差数列,求数列的前项和为.

     

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    科目：高中数学 来源：2011-2012学年新疆乌鲁木齐一中高三第一次月考文科数学试卷 题型：解答题

    （本小题满分12分）设数列的前项和为，且对于

    任意的正整数都成立，其中为常数，且

    （1）求证：数列是等比数列（4分）

    （2）设数列的公比，数列满足：，）（，

     

    ，求证：数列是等差数列，并求数列的前项和

     

     

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