Question

等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知5S₁、2S₂、S₃成等差数列．
（Ⅰ）求{a_n}的公比q；
（Ⅱ）当a₁-a₃=3且a₁≠a₂时，求S_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用等比数列的前n项和公式表示出S₁，S₂，S₃，然后根据5S₁、2S₂、S₃成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，将表示出的S₁，S₂，S₃代入得到关于a₁与q的关系式，由a₁≠0，两边同时除以a₁，得到关于q的方程，求出方程的解，即可得到公比q的值；
（Ⅱ）由a₁≠a₂，得到公比q不为1，即q=2，利用等比数列的性质化简a₁-a₃=3，将q值代入求出a₁的值，由a₁及q的值，利用等比数列的前n项和公式即可表示出S_n．
解答：解：（Ⅰ）∵5S₁、2S₂、S₃成等差数列，
∴4S₂=5S₁+S₃，又数列{a_n}为等比数列，
∴4（a₁+a₁q）=（5a₁+a₁）+（a₁q+a₁q²），…（3分）
整理得：a₁q²-3a₁q+2a₁=0，
又a₁≠0，∴q²-3q+2=0，
解得：q=1或q=2； …（7分）
（Ⅱ）由已知a₁-a₃=3，可得：a₁-a₁q²=3，
∵a₁≠a₂，∴q≠1，
∴q=2，
∴a₁=-1，…（11分）
则S_n==1-2ⁿ．…（13分）
点评：此题考查了等差数列的性质，等比数列的通项公式、求和公式，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．