Question

设函数f(x)=x³+bx²+cx(x∈R)，已知g(x)=f(x)-f′(x)是奇函数.

（1）求b,c的值.

（2）求g（x）的单调区间与极值.

Answer 1

思路分析：关于函数的大题应注意用导数研究函数性质的方法，同时要注意分类讨论的数学思想.本题易错点是分类讨论及导数的应用.

解：（1）∵ f（x）=x³+bx²+cx，

∴f′（x）=3x²+2bx+c.

从而g(x)=f(x)-f′（x）=x³+bx²+cx-(3x²+2bx+c)=x³+(b-3)x²+(c-2b)x-c是一个奇函数，所以g(0)=0得c=0，由奇函数定义得b=3；

（2）由（1）知g(x)=x³-6x，从而g′(x)=3x²-6，由此可知，

(-∞,)和(,+∞)是函数g(x)的单调递增区间；

(,)是函数g(x)的单调递减区间；

g(x)在x=时，取得极大值，极大值为，g（x）在x=时，取得极小值，极小值为.