Question

从极点O作圆C：ρ=8cosθ的弦ON，求ON的中点M的轨迹方程.

Answer 1

思路分析：在直角坐标系中，求曲线的轨迹方程的方法有直接法、定义法、转移法，在极坐标系中，求曲线的极坐标方程这几种方法仍然是适用的.

图1-3-3

解：如图1-3-3，圆C的圆心C(4,0)，半径r=|OC|=4，连结CM.

∵M为弦ON的中点，

∴CM⊥ON，故M在以OC为直径的圆上.

∴动点M的轨迹方程是ρ=4cosθ.

    方法归纳 这种解法是定义法，下面我们用转移法来解决这个问题：设M点的坐标是(ρ,θ),N(ρ₁,θ₁).N点在圆ρ=8cosθ上，

∴ρ₁=8cosθ₁(*).∵M是ON的中点，∴它代入(*)式得2ρ=8cosθ.故M的轨迹方程是ρ=4cosθ.

在极坐标系中，曲线可以用含有ρ,θ这两个变数的方程f(ρ,θ)来表示，这种方程叫做曲线的极坐标方程.常见的曲线方程如下：

①过极点，极角为α的直线方程：θ=α(ρ∈R).

②与极轴平行并且与极轴距离等于a的直线方程：ρsinθ=±a(a＞0).

③与极轴所在直线垂直且与极点距离为a的直线方程：ρcosθ=±a(a＞0).

④圆的极坐标方程：

圆心为(ρ₀,θ₀)，半径为r：ρ²-2ρ₀-ρcos(θ-θ₀)+ρ₀²-r²=0；

圆心为(ρ₀,0)，半径为r：ρ²-2ρ₀ρcosθ+ρ₀²-r²=0；

圆心为(r,0)，半径为r：ρ=2rcosθ(r＞0)；

圆心为(-r,0)，半径为r：ρ=-2rcosθ(r＞0)；

圆心为(r,)，半径为r：ρ=2rsinθ(r＞0)；

圆心为(r,)，半径为r：ρ=-2rsinθ(r＞0)；

圆心为(0,θ),半径为r：ρ=r(r＞0).