Question

已知双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），过左焦点F₁作斜率为

3

3

的直线交双曲线的右支于点P，且y轴平分线段F₁P，则双曲线的离心率是

3

．

Answer 1

分析：先求过焦点F₁（-c，0）的直线l的方程，进而可得P的坐标，代入双曲线方程，结合几何量之间的关系，即可求出双曲线的离心率．

解答：解：由题意，过焦点F₁（-c，0）的直线l的方程为：y=

3

3

（x-c），
∵直线l交双曲线右支于点P，且y轴平分线F₁P，
∴直l交y轴于点Q（0，

3

3

c）．
设点P的坐标为（x，y），则x+c=2c，y=

2 3 c

3

，∴P点坐标（c，

2 3 c

3

），
代入双曲线方程得：

c2

a2

-

( 2 3 c 3 )2

b2

=1
又∵c²=a²+b²，∴c²=3a²，∴c=

3

a
∴e=

c

a

=

3

故答案为：

3

．

点评：本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，确定P的坐标是关键．