Question

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点．

(1)求证：CD⊥PD；

(2)求证EF∥平面PAD；

(3)当平面PCD与平面ABCD成多大角时，直线EF⊥平面PCD？

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)∵PA⊥底面ABCD，∴AD是PD在平面ABCD内的射影， 　　∵CD平面ABCD且CD⊥AD，∴CD⊥PD 　　(2)取CD中点G，连EG、FG， 　　∵E、F分别是AB、PC的中点，∴EG∥AD，FG∥PD 　　∴平面EFG∥平面PAD，故EF∥平面PAD 　　(3)解：当平面PCD与平面ABCD成45°角时，直线EF⊥面PCD 　　证明：G为CD中点，则EG⊥CD，由(1)知FG⊥CD，故∠EGF为平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角即∠EGF＝45°，从而得∠ADP＝45°，AD＝AP 　　由Rt△PAE≌Rt△CBE，得PE＝CE 　　又F是PC的中点，∴EF⊥PC，由CD⊥EG，CD⊥FG，得CD⊥平面EFG，CD⊥EF即EF⊥CD，故EF⊥平面PCD．