Question

（19乙）如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直.点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a（0＜a＜）.

（Ⅰ）求MN的长；

（Ⅱ）当a为何值时，MN的长最小；

（Ⅲ）当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角α的大小.

Answer 1

（19乙）本小题主要考查线面关系、二面角和函数极值等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.

解：

（Ⅰ）作MP∥AB交BC于点P，NQ∥AB交BE于点Q，连结PQ，依题意可得MP∥NQ，且MP=NQ，

即MNQP是平行四边形，

∴MN=PQ                                                         

由已知，CM=BN=a，CB=AB=BE=1，

∴AC=BF=，

=，=.

即CP=BQ=.

∴MN=PQ=

=

=（0＜a＜）.                                

 

（Ⅱ）由（Ⅰ），MN=，

所以，当a=时，MN=.

即M、N分别移动到AC、BF的中点时，MN的长最小，最小值为.

 

（Ⅲ）取MN的中点G，连结AG、BG，

∵AM=AN，BM=BN，

∴AG⊥MN，BG⊥MN，∠AGB即为二面角α的平面角，

又AG=BG=，所以，由余弦定理有

cosα==－.

故所求二面角α=arccos（－）.