Question

如下图，ABCD－A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，侧棱长为3，底面边长为2，E是棱BC的中点．

(I)求证：BD₁∥平面C₁DE；

(II)求二面角C₁－DE－C的大小；

(III)在侧棱BB₁上是否存在点P，使得CP⊥平面C₁DE？证明你的结论

Answer 1

答案：
解析：

(I)证明： 　　连接CD1，与C1D相交于O，连接EO． 　　∵CDD1C1是矩形， 　　∴O是CD1的中点， 　　又E是BC的中点， 　　∴EO∥BD1．　　2分 　　又BD1平面C1DE，EO平面C1DE， 　　∴BD1∥平面C1DE．　　4分 　　(II)解：过点C作CH⊥DE于H，连接C1H． 　　在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，CC1⊥平面ABCD， 　　∴C1H⊥DE， 　　∠C1HC是二面角C1－DE－C的平面角．　　7分 　　根据平面几何知识，易得H(0.8，1．6，0)． 　　　　9分 　　 　　∴二面角C1－DE－C的大小为ArCCOs　　10分 　　(III)解：在侧棱BB1上不存在点P，使得CP⊥平面C1DE　　11分 　　证明如下： 　　假设CP⊥平面C1DE，则必有CP⊥DE． 　　设P(2，2，)，其中0≤≤3， 　　则 　　∵，这显然与CP⊥DE矛盾． 　　∴假设CP⊥平面C1DE不成立， 　　即在侧棱BB1上不存在点P，使得CP⊥平面C1DE．　　14分