Question

16．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中．
求证：
（1）A₁C⊥BD；
（2）平面AB₁D₁∥平面BC₁D．

Answer 1

分析 （1）要证A₁C⊥BD，只需证DB⊥面A₁ACC₁即可，
（2）利用线面平行的判定证明．

解答 （1）证明：在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，则有DB⊥AC，DB⊥AA₁，
且AA₁∩AC=A，∴DB⊥面AA₁C₁C，
∵A₁C?面AA₁C₁C，
∴A₁C⊥BD；
（2）∵$\left\{\begin{array}{l}{{D}_{1}{C}_{1}=AB}\\{{D}_{1}{C}_{1}∥AB}\end{array}\right.$∴四边形ABC₁D₁是平行四边形，∴AD₁∥BC₁，
又∵DB∥B₁D₁，AD₁?面AD₁B₁，B₁D₁?面AD₁B₁，
BD?面DBC₁，BC₁?面DBC₁，且AD₁ ∩D₁B₁=D₁．
∴平面AB₁D₁∥平面BC₁D．

点评 本题考查了空间线线，线面，面面位置关系，属于中档题．