Question

求通过原点且与两直线l₁：x+2y-9=0，l₂：2x-y+2=0相切的圆的方程．

Answer 1

分析：由圆与l₁、l₂相切，根据切线长定理得到圆心的轨迹在l₁与l₂的夹角平分线上，而两直线的斜率乘积为-1，得到两直线垂直，即夹角为90°，可得出l与l₂夹角为45°，设l₁与l₂的夹角平分线为l，其斜率为k，根据斜率与夹角的关系列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，再将l₁与l₂的方程联立求出两直线的交点坐标，由交点坐标与求出的k写出直线l的方程，设出圆心坐标为（a，b），代入直线l的方程，得到关于a与b的方程，记作①，由所求圆过原点，且与直线l₂相切，得到圆心到原点的距离等于圆心到直线l₂距离，利用两点间的距离公式及点到直线的距离公式列出关于a与b的方程，记作②，联立①②求出可得出a与b的值，确定出圆心坐标和半径，根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程即可．

解答：解：∵圆与l₁、l₂相切，
∴圆心的轨迹在l₁与l₂的夹角平分线上，
∵k₁=-

1

2

，k₂=2，
∴k₁•k₂=-1，即l₁⊥l₂，…（4分）
设l₁与l₂的夹角平分线为l，其斜率为k，
∴l与l₂夹角为45°，
∴|

- 1 2 -k

1- 1 2 k

|=tan45°=1，
∴k=-3或k=

1

3

（舍去），…（6分）
又两直线l₁：x+2y-9=0，l₂：2x-y+2=0的交点为（1，4），
∴直线l的方程为y-4=-3（x-1），即3x+y-7=0，
设圆心（a，b），代入直线l方程得：3a+b-7=0①，
∵圆心到直线l₂：2x-y+2=0的距离d=

|2a-b+2|

5

，圆心到原点的距离为

a2+b2

，
∴

|2a-b+2|

5

=

a2+b2

②，
联立①②解得：

a=2 b=1

或

a= 22 5 b=- 31 5

，
∴圆心坐标为（2，1）或（

22

5

，-

31

5

），r²=a²+b²=5或

289

5

，
则所求圆方程为（x-2）²+（y-1）²=5或（x-

22

5

）²+（y+

31

5

）²=

289

5

．…（12分）

点评：此题考查了圆的切线方程，涉及的知识有：切线长定理，两直线夹角与斜率的关系，两点间的距离公式，点到直线的距离公式，直线的点斜式方程，圆的标准方程，以及两直线垂直斜率满足的关系，当直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．