Question

求下列函数的最值:

(1)f(x)=3x-x³(-≤x≤3);

(2)f(x)=sin2x-x(-≤x≤);

(3)f(x)=(0＜x＜1,a＞0,b＞0);

(4)f(x)=x+.

Answer 1

思路分析：函数f(x)在给定区间上连续可导，必有最大值和最小值,在求闭区间［a,b］上函数的最值时，只需求出函数f(x)在开区间(a,b)内的极值，然后与端点处函数值进行比较即可.

解：(1)f′(x)=3-3x²=3(1-x)(1+x).

令f′(x)=0,得x=1或x=-1.

∴x=1和x=-1是函数f(x)在［-,3］上的两个极值点，且f(1)=2,f(-1)=-2.

又f(x)在区间端点的取值为f(-)=0,f(3)=-18,

比较以上函数值可得f(x)_max=2,f(x)_min=-18.

(2)f′(x)=2cos2x-1.

令f′(x)=0,得cos2x=.

又x∈［-,］,∴2x∈［-π,π］.

∴2x=±.∴x=±.

∴函数f(x)在［-,］上的两个极值分别为f()=-,f(-)=-+.

又f(x)在区间端点的取值为

f()=-,f(-)=,

比较以上函数值可得f(x)_max=,f(x)_min=-.

(3)f′(x)=--b²(1-x)^-2·(1-x)′

=-+.

令f′(x)=0,得b²x²-a²(1-x)²=0,

即［bx+a(1-x)］［bx-a(1-x)］=0.

∵0＜x＜1,a＞0,b＞0,

∴bx+a(1-x)＞0恒成立.

∴bx-a(1-x)=0.∴x=.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化状态如下表:

x	(0,)		(,1)
f′(x)	-	0	+
f(x)	↘	极小值(a+b)2	↗

从上表看出，函数在x=处取得极小值，且f()=(a+b)².

∴函数f(x)在(0,1)上的极小值也就是最小值，即f(x)_min=(a+b)².

(4)∵函数f(x)有意义，

∴必须满足1-x²≥0，即-1≤x≤1.

∴函数f(x)的定义域为［-1,1］.

f′(x)=1+=1-.

 令f′(x)=0,得x=.

∴f(x)在［-1,1］上的极值为

f()=+1-.

又f(x)在区间端点的函数值为f(1)=1,f(-1)=-1,比较以上函数值可得f(x)_max=,f(x)_min=-1.