Question

4．直线l：ax+$\frac{1}{a}$y-1=0 与x，y轴的交点分别为A，B，直线与圆O：x²+y²=1 的交点为C，D，给出下面三个结论：
①?a≥1，S_△AOB=$\frac{1}{2}$；
②?a≥1，|AB|≥|CD|； 
③?a≥1，S_△COD＜$\frac{1}{2}$．
其中，所有正确结论的个数是（　　）

• A． 0个
• B． 1个
• C． 2个
• D． 3个

Answer 1

分析 求得直线与坐标轴的交点A，B，原点到直线的距离，求得△AOB的面积，即可判断①；
运用两点的距离公式和弦长公式，平方作差比较，结合基本不等式即可判断②；
求得三角形COD的面积，平方作差，配方即可判断③．

解答 解：直线l：ax+$\frac{1}{a}$y-1=0 与x，y轴的交点分别为A（$\frac{1}{a}$，0），B（0，a），
O到直线l的距离d=$\frac{|-a|}{\sqrt{{a}^{4}+1}}$，
①?a≥1，S_△AOB=$\frac{1}{2}$•|a|•$\frac{1}{|a|}$=$\frac{1}{2}$，故①正确；
②?a≥1，|AB|²=a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$，|CD|²=4（1-$\frac{{a}^{2}}{{a}^{4}+1}$），
|AB|²-|CD|²=a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{{a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}}$-4，
由a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$≥2，（a=1取得等号），可得上式≥2$\sqrt{4}$-4=0，（a=1取得等号）
则|AB|≥|CD|； 
③S_△COD=$\frac{1}{2}$|CD|d=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{1-\frac{{a}^{2}}{1+{a}^{4}}}$•$\frac{|-a|}{\sqrt{{a}^{4}+1}}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}}{1+{a}^{4}}（1-\frac{{a}^{2}}{1+{a}^{4}}）}$，
由S_△COD²-$\frac{1}{4}$=$\frac{{a}^{2}}{{a}^{4}+1}$-（$\frac{{a}^{2}}{{a}^{4}+1}$）²-$\frac{1}{4}$=-（$\frac{{a}^{2}}{{a}^{4}+1}$-$\frac{1}{2}$）²≤0（a=±1时取得等号），
则?a≥1，S_△COD＜$\frac{1}{2}$成立．
故选：D．

点评 本题考查命题的真假判断，主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式、两点的距离和三角形的面积公式、基本不等式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．