Question

13．已知点A在椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$上，点P满足$\overrightarrow{AP}=（{λ-1}）\overrightarrow{OA}（{λ∈R}）$，且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}=72$，则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为15．

Answer 1

分析 根据向量共线定理可得|$\overrightarrow{OA}$|•|$\overrightarrow{OP}$|=72，设A（x，y）、PB为点A在x轴的投影，求出OP在x轴上的投影长度为|$\overrightarrow{OP}$|cosθ，再利用基本不等式求最值，可得结论．

解答 解：$\overrightarrow{AP}=（{λ-1}）\overrightarrow{OA}（{λ∈R}）$，∴$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OA}$，则O，P，A三点共线，
∵$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}=72$，∴|$\overrightarrow{OA}$|•|$\overrightarrow{OP}$|=72，
设OP与x轴夹角为θ，设A（x，y），B为点A在x轴的投影，
则OP在x轴上的投影长度为|$\overrightarrow{OP}$|cosθ=$\frac{72丨\overrightarrow{OB}丨}{丨\overrightarrow{OA}{丨}^{2}}$=72×$\frac{丨x丨}{{x}^{2}+{y}^{2}}$=72×$\frac{1}{\frac{16}{25}丨x丨+\frac{9}{丨x丨}}$≤72×$\frac{1}{2\sqrt{\frac{16}{25}丨x丨×\frac{9}{丨x丨}}}$=15．
当且仅当$\frac{16}{25}$丨x丨=$\frac{9}{丨x丨}$，即|x|=$\frac{15}{4}$时等号成立．
则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为15．
故答案为：15．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查向量的共线定理，向量的坐标运算公式、基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题．