Question

如图所示，在△ABC中，∠B=90°，SA⊥平面ABC，点A在SB和SC上的射影分别为N，M．求证MN⊥SC．

Answer 1

答案：略
解析：

证明：SA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴SA⊥BC． ∵∠B=90°，即AB⊥BC， BA∩SA=A，∴BC⊥平面SAB． ∵AN平面SAB，∴BC⊥AN． 又∵AN⊥SB，SB∩BC=B， ∴AN⊥平面SBC． ∵SC平面SBC．∴AN⊥SC． 又AM⊥SC，AM∩AN=A， ∴SC⊥平面AMN． ∵MN平面AMN，∴SC⊥MN．

提示：

欲证SC⊥MN，可证SC⊥平面AMN，为此需证SC⊥AN，进而可转化为证明AN⊥平面SBC，而已知AN⊥SB，所以只需证AN⊥BC即可，由于本题中线线垂直、线面垂直较多，所以也可充分利用三垂线定理及其逆定理来证明． 证明线线垂直常转化为证明线面垂直，而证明线面垂直又学转化为证明线线垂直，立体几何中的垂直问题的证明往往是在这种互相转化中实现的．