Question

求下列函数的值域：

（1）y=;

(2)y=sinx+cosx+sinxcosx;

(3)y=2cos+2cosx.

Answer 1

（1）（2） (3) ［-2，2］

解析:

（1）y==

=2cos²x+2cosx=2-.

于是当且仅当cosx=1时取得y_max=4,但cosx≠1,

∴y＜4，且y_min=-,当且仅当cosx=-时取得.

故函数值域为.

（2）令t=sinx+cosx,则有t²=1+2sinxcosx,即sinxcosx=.

有y=f(t)=t+=.

又t=sinx+cosx=sin，∴-≤t≤.

故y=f(t)= (-≤t≤),

从而知：f(-1)≤y≤f(2),即-1≤y≤+.即函数的值域为.

（3）y=2cos+2cosx

=2coscosx-2sinsinx+2cosx

=3cosx-sinx=2

=2cos.

∵≤1

∴该函数值域为［-2，2］.