Question

在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，点E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F

(1)求证：PA∥平面EDB

(2)求证：PB⊥平面EFD

(3)求二面角C－PB－D的大小

Answer 1

答案：
解析：

解：建立空间直角坐标系，如图所示，点D为坐标原点，设DC＝1　1分 　　(1)证明：连接AC，AC交BD于点G，连接EG 　　依题意得A(1，0，0)，P(0，0，1)，E(0，) 　　因为底面ABCD是正方形，所以点G是此正方形的中心， 　　故点G的坐标为(，0)， 　　且，所以 　　即PA//EG，而EG平面EDB，且PA平面EDB， 　　因此PA//平面EDB　6分 　　(2)证明：依题意得B(1，1，0)，，又 　　故，所以PB⊥DE 　　由已知EF⊥PB，且EF∩DE＝E，所以PB⊥平面EFD　9分 　　(3)解：已知PB⊥EF，由(2)可知PB⊥DF， 　　故∠EFD是二面角C－PB－D的平面角 　　设点F的坐标为(x，y，z)，则 　　因为所以(x，y，z－1)＝k(1，1，－1)即x＝k，y＝k，z＝1－k 　　为，所以(1，1，－1)＝k＋k－1＋k＝3k－1＝0 　　所以k＝，点F的坐标为(，，) 　　又点E的坐标为(0，)，所以 　　因为cos 　　所以＝60°，即二面角C－PB－D的大小为60°　14分