Question

已知点C(4，0)和直线l：x=1，P是动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且()·()=0，设P点的轨迹是曲线M．

(Ⅰ)求曲线M的方程；

(Ⅱ)点O是坐标原点，是否存在斜率为1的直线m，使m与M交于A、B两点，且?若存在，求出直线m的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

解:(Ⅰ)由知=0知

∴.

设P(x，y)，代入上式得=2|x-1|

平方整理得=1．

(Ⅱ)假设存在斜率为1的直线m:y=x+n，使m与M交于A、B两点，与=1．

联立，得2x²-2nx-(n²+12)=0．

设A、B的坐标分别为(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，

∴x₁+x₂=n，x₁x₂=，①

，得(x₂-4，y₂)=2(x₁，y₁)，

∴,② 

将②代入①得,

消去x₁，整理得13n²-8n+76=0，因其判别式

△=8²-4×13×76＜0

所以不存在斜率为1的直线m满足题意．