Question

如图，三条直线，b，c两两平行，直线，间的距离为，直线b，c间的距离为，A，B为直线上的两个定点，且AB=2，MN是在直线b上滑动的长度为2的线段．

(1)建立适当的直角坐标系，求△AMN的外心C的轨迹E；

(2)当△AMN的外心在E上什么位置时，使d+BC最小?最小值是多少?(其中d为外心C到直线c的距离)

Answer 1

解：(1)以直线b为轴，以过点A且与直线b垂直的直线为轴建立平面直角坐标系，

由题意有A(0，)，△AMN的外心为C(，)，则M(一，0)，

    N(+，0)，由题意有|CA|=|CM|，

    ∴．

    化简，得，这是以原点为顶点、轴为对称轴、开口向上的抛物线．

(2)不难知道，直线c恰为轨迹E的准线，

由抛物线的定义知，d=|CF|，其中F(0，)是抛物线的焦点．

∴d+|BC|=|CF|+|BC|．由两点间直线段最短知，

线段BF与轨迹E的交点即为所求的使d+|BC|最小的点．

由两点式方程可求得直线BF的方程为，

把它与联立，得C()，最小值|BF|=．