Question

设P是边长为2

3

的正△ABC内的一点，x，y，z是P到三角形三边的距离，则

x

+

y

+

z

的最大值为

3

．

Answer 1

分析：根据正三角形的性质，可得点P到三角形三边的距离之和等于它的高，可得x+y+z=3，由此结合柯西不等式加以计算，即可得到

x

+

y

+

z

的最大值．

解答：解：正三角形的边长为a=2

3

，可得它的高等于

3

2

a=3
∵P是正三角形内部一点
∴点P到三角形三边的距离之和等于正三角形的高，即x+y+z=3
∵（

x

+

y

+

z

）²=（1×

x

+1×

y

+1×

z

）²≤（1+1+1）（x+y+z）=9
∴

x

+

y

+

z

≤3，当且仅当x=y=z=1时，

x

+

y

+

z

的最大值为3
故答案为：3

点评：本题给出边长为2

3

的正三角形内一点P，求P到三边的距离的算术平方根之和的最大值，着重考查了正三角形的性质和柯西不等式等知识，属于中档题．