Question

如图，四棱锥S＝ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝AD＝a，点E是SD上的点，且DE＝λa(0＜λ≤1)．

(Ⅰ)求证：对任意的λ∈(0，1)，都有AC⊥BE；

(Ⅱ)若二面角C－AE－D的大小为60°C，求λ的值．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)证发1：连接BD，由底面是正方形可得AC⊥BD． 　　∵SD⊥平面ABCD，∴BD是BE在平面ABCD上的射影， 　　由三垂线定理得AC⊥BE． 　　(Ⅱ)解法1：∵SD⊥平面ABCD，CD平面ABCD，∴SD⊥CD． 　　又底面ABCD是正方形，∴CD⊥AD，又SD∩AD＝D，∴CD⊥平面SAD． 　　过点D在平面SAD内做DF⊥AE于F，连接CF，则CF⊥AE， 　　故∠CFD是二面角C－AE－D的平面角，即∠CFD＝60° 　　在Rt△ADE中，∵AD＝α，DE＝λα，AE＝α． 　　于是，DF＝ 　　在Rt△CDF中，由cot60°＝ 　　得，即＝3λ，λ∈(0，1]， 　　解得λ＝ 　　证法2：以D为原点，DA，、的方向分别作为x，y，z轴的正方向建如图