Question

18. 如图3，已知直二面角，CA=CB，直线CA和平面所成的角为.                  

   (Ⅰ)证明；

   (Ⅱ)求二面角的大小.

                         图3

Answer 1

解：（Ⅰ）在平面β内过点C作CO⊥PQ于点O，连结OB.

因为α⊥β，α∩β＝PQ，所以CO⊥α，又因为CA＝CB，所以OA＝OB.

而∠BAO＝45°，所以∠ABO＝45°，∠AOB＝90°,从而BO⊥PQ，又CO⊥PQ，

所以PQ⊥平面OBC，因为BC平面OBC，故PQ⊥BC.

（Ⅱ）解法一　由（Ⅰ）知，BO⊥PQ,又α⊥β,α∩β＝PQ，BOα，所以BO⊥β.

过点O作OH⊥AC于点H，连结BH，由三垂线定理知，BH⊥AC，故∠BHO是二面角B―AC―P的平面角.

由（Ⅰ）知，CO⊥α，所以∠CAO是CA和平面α所成的角，则∠CAO＝30°.不妨设AC＝2,则AO＝，OH＝AOsin30°＝.

在Rt△OAB中，∠ABO=∠BAO=45°，所以BO=AO=,

于是在Rt△BOH中，tan∠BHO==2.

故二面角B―AC―P的大小为arctan2.

解法二　由（Ⅰ）知，OC⊥OA，OC⊥OB,OA⊥OB，故可以O为原点，分别以直线OB、OA、OC为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图）.

因为CO⊥α，所以∠CAO是CA和平面α所成的角，则∠CAO＝30°.

不妨设AC＝2,则AO＝，CO＝1,在Rt△OAB中，∠ABO＝∠BAO＝45°，

所以BO=AO=.

则相关各点的坐标分别是O（0,0,0）,B（，0,0）,A（0, ，0）,C（0，0,1）.

所以＝（，－，0）, ＝（0,－，1）.

设＝（x,y,z）是平面ABC的一个法向量，由得

取x=1,得＝（1,1, ）.

易知＝（1,0,0）是平面β的一个法向量.

设二面角B-AC-P的平面角为θ，由图可知，θ＝＜，＞.

所以cosθ＝，

故二面角B-AC-P的大小为arccos.