Question

求方程x⁵-x³-3x²+3=0的无理根(精确到0.01).

Answer 1

思路分析：求方程的无理根问题可以通过因式分解，发现其有理根，然后转化为求另一个方程的无理根问题.方程x⁵-x³-3x²+3=0的无理根是x³-3=0的根，只需求出g(x)=x³-3的零点即可.

解：令f(x)=x⁵-x³-3x²+3，则f(x)=(x²-1)(x³-3)，显然无理根就是x³-3=0的根，令g(x)=x³-3，以下用二分法求函数g(x)的零点.由于g(1)=-2＜0,g(2)=5＞0，故可取(1,2)作为计算的初始区间，如下表:

取中点	中点函数	值取区间
1.5	g(1.5)=0.375＞0	(1，1.5)
1.25	g(1.25)=-1.047＜0	(1.25，1.5)
1.375	g(1.375)=-0.400 4＜0	(1.375，1.5)
1.437 5	g(1.437 5)=-0.029 5＜0	(1.437 5，1.5)
1.468 75	g(1.468 75)=0.168 4＞0	(1.437 5，1.468 75)
1.453 125	g(1.453 125)=0.068 4＞0	(1.437 5，1.453 125)
1.445 312 5	g(1.445 312 5)=0.019 2＞0	(1.437 5，1.445 312 5)
1.441 406 25	g(1.441 406 25)=-0.005 3＜0	(1.441 406 25,1.445 312 5)
1.443 359 375	g(1.443 359 375)=0.006 9＞0	(1.441 406 25,1.443 359 375)

    由于区间(1.441 406 25,1.443 359 375)的两个端点精确到0.01的近似值都是1.44，所以原方程的无理根是1.44(精确到0.01).