Question

如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2．

(Ⅰ)证明：平面PBE⊥平面PAB；

(Ⅱ)求平面PAD和平面PBE所成二面角(锐角)的大小．

Answer 1

答案：
解析：

解：解法一(Ⅰ)如图所示，连结BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD，又AB∥CD，所以BE⊥AB．又因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥BE．而AB＝A，因此BE⊥平面PAB． 　　又平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB． 　　(Ⅱ)延长AD、BE相交于点F，连结PF．过点A作AH⊥PB于H，由(Ⅰ)知平面PBE⊥平面PAB，所以AH⊥平面PBE． 　　在Rt△ABF中，因为∠BAF＝60°，所以，AF＝2AB＝2＝AP． 　　在等腰Rt△PAF中，取PF的中点G，连接AG． 　　则AG⊥PF．连结HG，由三垂线定理的逆定理得，PF⊥HG． 　　所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角(锐角)． 　　在等腰Rt△PAF中， 　　在Rt△PAB中， 　　所以，在Rt△AHG中， 　　故平面PAD和平面PBE所成二面角(锐角)的大小是 　　解法二　如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系．则相关各点的坐标分别是A(0，0，0)，B(1，0，0)，P(0，0，2)， 　　(Ⅰ)因为，平面PAB的一个法向量是，所以共线．从而BE⊥平面PAB． 　　又因为平面PBE，故平面PBE⊥平面PAB． 　　(Ⅱ)易知 　　设是平面PBE的一个法向量，则由得所以 　　设是平面PAD的一个法向量，则由得所以故可取 　　于是， 　　故平面PAD和平面PBE所成二面角(锐角)的大小是