Question

4．已知正项数列{a_n}满足a_n+1²-2a_n²=a_na_n+1，若a₁=1，则数列{a_n}的前n项和为S_n=2ⁿ-1．

Answer 1

分析 把已知的数列递推式变形，因式分解后得到数列{a_n}是公比为2的等比数列，然后由等比数列的前n项和公式得答案．

解答 解：∵a_n+1²-2a_n²=a_na_n+1，
∴a_n+1²-a_na_n+1-2a_n²=0，即（a_n+1+a_n）（2a_n-a_n+1）=0，
又a_n＞0，∴2a_n-a_n+1=0，即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=2$，
∴数列{a_n}是公比为2的等比数列，
又∵a₁=2，
∴数列{a_n}的前n项和为S_n=$\frac{1×（1-{2}^{n}）}{1-2}={2}^{n}-1$．
故答案为：2^n-1．

点评 本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了等比数列前n项和的求法，是中档题．