Question

已知60的二面角α-l-β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AC=BD=DC=1则AB与β面所成角的正弦值为    ．

Answer 1

【答案】分析：由题设知=（）²=2，故AB=||=．过点A作AE⊥β，交β于点E，连接DE，BE，则∠ABE就是AB与β面所成角．由此能求出AB与β面所成角的正弦值．
解答：解：∵60的二面角α-l-β中，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，
AC=BD=DC=1，
∴=（）²
=+++2+2+2
=1+1+1+2×=2，
∴AB=||=．
过点A作AE⊥β，交β于点E，连接DE，BE，
则∠ABE就是AB与β面所成角．
∵AD⊥l，l?β，∴DE⊥l，∴∠ADE=60°，
∴AE=AD•sin60°=，
∴sin∠ABE===．
故答案为：．
点评：本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，具本涉及到向量知识、三垂线定理、二面角等基本知识点，解题时要注意空间思维能力的培养．