练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    求证:双曲线(a＞0,b＞0)上任何一点到两条渐近线的距离之积为定值.

    证法一:设P(x0,y0)是双曲线上任意一点,

    由双曲线的两条渐近线方程为bx+ay=0和bx-ay=0,

    可得P到bx+ay=0的距离;

    P到bx-ay=0的距离.

    ∴.

    又P在双曲线上,∴,即b2x02-a2y02=a2b2.

    ∴,即P到两条渐近线的距离之积为定值.

    证法二:设双曲线上任一点P(asecθ,btanθ),

    ∵双曲线的两条渐近线方程为bx+ay=0和bx-ay=0.

    ∴点P到直线bx+ay=0的距离

    .

    点P到直线bx-ay=0的距离

    .

    ∴

    .

    ∴双曲线上任一点到两条渐近线的距离之积为定值.

    启示:(1)所谓定值,是与P点在曲线上的位置无关,为了达到目标明确,可先通过特殊的情况,求出一个常数,猜想其定值.

    (2)双曲线(a＞0,b＞0)的参数方程为(θ为参数),不作过高要求,在解题中灵活应用即可,类似于换元法解题,将可达到一元化的目的.

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源：模拟题 题型：解答题

    在平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A(1，0)、B(0，-2)，点C满足，其中m、n∈R，且m-2n=1，
    (1)求点C的轨迹方程；
    (2)设点C的轨迹与双曲线(a＞0，b＞0，且a≠b)交于两点M、N，且以MN为直径的圆过原点，求证为定值；
    (3)在(2)的条件下，若双曲线的离心率不大于，求双曲线实轴长的取值范围．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知双曲线(a＞0,b＞0)的焦点坐标是F1(-c,0)和F2(c,0),P(x0,y0)?是双曲线上的任一点,求证:|PF1|=|a+ex0|,|PF2|=|a-ex0|,其中e是双曲线的离心率.

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    过双曲线(a＞0,b＞0)的一个焦点F作x轴的垂线,交双曲线的一支于P、Q两点,又过F作一直线平行于双曲线的一条渐近线,交双曲线于R,求证:|PQ|=4|FR|.

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知P为双曲线(a＞0,b＞0)上的任意一点,过P分别作双曲线的渐近线的平行线,分别与渐近线交于M、N两点,求证:|PM|·|PN|=c2(c为双曲线的半焦距).

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案