解：（Ⅰ）根据题意：△a
n=a
n+1-a
n=（n+1）
2-（n+1）-n
2+n=5n-4 （2分）
∴△a
n+1-△a
n=6．
∴数列{Da
n}是首项为1，公差为5的等差数列．（3分）
（Ⅱ）由△
2a
n-△a
n+1+a
n=-2
n，∴△a
n+1-△a
n-△a
n+1+a
n=-2
n，?△a
n-a
n=2
n．（5分）
而△a
n=a
n+1-a
n，∴a
n+1-2a
n=2
n，∴
-
=
，（6分）
∴数列{
}构成以
为首项，
为公差的等差数列，
即
=
?a
n=n•2
n-1．（7分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知a
n=n•2
n-1，
∴b
n=
=
=
（9分）
∴当n≥2，n∈N
*时
=
=
（
-
），
∴b
1+
+…+
=1+[（
-
）+（
-
）+（
-
）+…+（
-
）+（
-
）]
=1+
（
+
-
-
）＜1+
（
+
）=
．
当n=1时，b
1=1＜
，显然成立．
∴b
1+
+…+
＜
．（12分）
分析：（Ⅰ）根据题意：△a
n=a
n+1-a
n=（n+1）
2-（n+1）-n
2+n=5n-4，所以△a
n+1-△a
n=6．由此能够证明{△a
n}是等差数列．
（Ⅱ）由△
2a
n-△a
n+1+a
n=-2
n，知△a
n+1-△a
n-△a
n+1+a
n=-2
n，所以△a
n-a
n=2
n．由此入手能够求出数列{a
n}的通项公式．
（Ⅲ）由a
n=n•2
n-1，b
n=
=
=
，当n≥2，n∈N
*时，
=
=
（
-
），由此入手，能够证明b
1+
+…+
＜
．
点评：第（Ⅰ）题考查等差数列的证明，解题时要注意等差数列性质的合理运用；第（Ⅱ）题考查数列通项公式的求解方法，解题时要注意构造法的合理运用；第（Ⅲ）题考查数列前n项和的证明，解题时要注意裂项求和法的合理运用．
n2-
n（n∈N*），试证明{△an}是等差数列；
，求证：b1+
+…+
＜
．
-
=
，（6分）
?an=n•2n-1．（7分）
=
=
（9分）
=
-
），
）+（
-
）+（
）+…+（
-
）+（
名校课堂系列答案
，求数列{bn}的通项公式；
，求证：c1+
+…+
＜
．
n2-
n（n∈N*），试证明{△an}是等差数列；
，求证：b1+
+…+
＜
．