Question

如图，已知四棱锥P－ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60°，E，F分别是BC，PC的中点．

(Ⅰ)证明：AE⊥PD；

(Ⅱ)若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E―AF―C的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

标准答案： 　　(Ⅰ)证明：由四边形为菱形，，可得为正三角形． 　　因为为的中点，所以． 　　又，因此． 　　因为平面，平面，所以． 　　而平面，平面且， 　　所以平面．又平面， 　　所以． 　　(Ⅱ)解：设，为上任意一点，连接． 　　由(Ⅰ)知平面， 　　则为与平面所成的角． 　　在中，， 　　所以当最短时，最大， 　　即当时，最大． 　　此时， 　　因此．又，所以， 　　所以． 　　解法一：因为平面，平面， 　　所以平面平面． 　　过作于，则平面， 　　过作于，连接，则为二面角的平面角， 　　在中，，， 　　又是的中点，在中，， 　　又， 　　在中，， 　　即所求二面角的余弦值为． 　　解法二：由(Ⅰ)知两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又分别为的中点，所以 　　， 　　， 　　所以． 　　设平面的一法向量为， 　　则　因此 　　取，则， 　　因为，，， 　　所以平面， 　　故为平面的一法向量． 　　又， 　　所以． 　　因为二面角为锐角， 　　所以所求二面角的余弦值为． 　　试题分析：确定点的位置是关键，当时，最大．求二面角时可以利用二面角的概念正确作出平面角进行论证求解，也可以利用向量方法将“形”转化为“数”．为了便于计算可设菱形边长为2． 　　高考考点：垂直关系的证明与二面角的求解．

提示：

底面是菱形提供了垂直关系的相关信息，这一点还是比较明显的，但也有一些几何体的底面在发掘有用信息方面就很困难，尤其建立空间坐标系时找不到“落脚”的地方，底面上一些点的坐标难以迅速求得．另外从探索解题思路的策略上来看，垂直往往是关键的“题眼”，需要我们将其放在优先考虑的地位 　　1)面对多个条件，不妨优先选择使用垂直的条件； 　　2)构造辅助线，不妨优先作出垂直的辅助线(或面)； 　　3)对于位置关系的转化，不妨优先使用垂直关系来转化．