Question

如图，在三棱锥中，

底面，

点，分别在棱上，且

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）当为的中点时，求与平面所成的角的大小；

（Ⅲ）是否存在点使得二面角为直二面角？并说明理由.

Answer 1

【解法1】（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.

又，∴AC⊥BC.

∴BC⊥平面PAC.     。。。。。。。。。。。。。。。。。4分

（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，

∴，

又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，

∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.

∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，  。。。。。。。。。。6分

∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，

∴△ABP为等腰直角三角形，∴，

∴在Rt△ABC中，，∴.

∴在Rt△ADE中，，

∴与平面所成的角的大小.。。。。。。。。 8分

（Ⅲ）∵DE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，

又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，

∴∠AEP为二面角的平面角，。。。。。。。。。。。。10分

∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴.

∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时，

故存在点E使得二面角是直二面角.。。。。。。。。。。12分

【解法2】如图，以A为原点建立空间直角坐标系，

设，由已知可得

.  。。。。。2分

（Ⅰ）∵，

∴，∴BC⊥AP.

又∵，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.。。。。。。。4分                 （Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，∴E为PC的中点，

∴，

∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.

∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，     。。。。。。。。。。。。。。 6分

∵，

∴.

∴与平面所成的角的大小.。。。。。。。8分

（Ⅲ）同解法1.    。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12