Question

2．已知定义在R上的函数$f（x）={（{\frac{1}{3}}）^{|x-t|}}$+2（t∈R）为偶函数，记a=f（-log₃4），b=f（log₂5），c=f（2t），a，b，c大小关系为（　　）

• A． a＜b＜c
• B． c＜a＜b
• C． b＜a＜c
• D． b＜c＜a

Answer 1

分析 根据题意，由函数奇偶性的性质可得f（-x）=f（x），即$（\frac{1}{3}）^{|x-t|}$+2=$（\frac{1}{3}）^{|-x-t|}$+2，分析可得t=0，即可得f（x）的解析式，将其写成分段函数的形式，分析可得其在区间（0，+∞）上为减函数，进而可得a=f（-log₃4）=f（log₃4），b=f（log₂5），c=f（2t）=f（0），比较自变量的大小，结合函数的单调性即可得答案．

解答 解：定义在R上的函数$f（x）={（{\frac{1}{3}}）^{|x-t|}}$+2（t∈R）为偶函数，
则有f（-x）=f（x），即$（\frac{1}{3}）^{|x-t|}$+2=$（\frac{1}{3}）^{|-x-t|}$+2，
分析可得t=0，即$f（x）={（{\frac{1}{3}}）^{|x|}}$+2=$\left\{\begin{array}{l}{{\frac{1}{3}}^{x}+2，x≥0}\\{{3}^{x}+2，x＜0}\end{array}\right.$，在区间（0，+∞）上为减函数，
a=f（-log₃4）=f（log₃4），b=f（log₂5），c=f（2t）=f（0），
又由0＜log₃4＜log₂5，
则有b＜a＜c；
故选：C．

点评 本题考查函数奇偶性与单调性的综合，关键是分析求出t的值．