Question

（1）已知|a|＜1,|b|＜1,求证:||＞1;

（2）求实数λ的取值范围，使不等式||＞1对满足|a＜1|,|b|＜1的一切实数a、b恒成立.

Answer 1

（1）证明：∵|a|＜1,|b|＜1,∴a²＜1,b²＜1.

即(a²-1)(b²-1)＞0

a²b²+1＞a²+b²(ab-1)²＞(a-b)²

(1-ab)＞|a-b|∴＞1，即||＞1.

（2）解法一：||＞1

|1-abλ|＞|aλ-b|

1-2λab+a²b²λ²＞a²λ²+b²-2λab

a²b²λ²+1-a²λ²-b²＞0

(a²λ²-1)(b²-1)＞0.

∵|b|＜1,∴a²λ²-1＜0.

即λ²＜又＞1.

∴λ²≤1,即-1≤λ≤1.

故当-1≤λ≤1时，满足题意.

解法二：由（1）的过程知|a|＜1,|b|＜1是||＞1的充要条件.

故|λa|≤1,即-1≤λ≤1.