Question

（本题16分）已知函数f(x)=x³-ax (a∈R)

(1)当a =1时，求函数f(x)的单调区间

（2）是否存在实数a，使得对任意的x∈[0，1]成立？若存在，求出a的值，若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（1）f(x)=x³-x，=3x²-1=0，x=，x∈（）或x∈（）时＞0，x∈（）时＜0,所以函数f(x)的单调递增区间为（）和（），函数f(x)的单调递减区间为（）………………5分

（2）假设存在这样的a，使得对任意的x∈[0，1]成立，当x=0时，a∈R

先求对任意的x∈（0，1]成立，即对任意的x∈（0，1]成立，

所以    ①        ………………10分

再求对任意的x∈（0，1]成立，即对任意的x∈（0，1]成立，记   （x∈（0，1]）

，，，且在x∈（0，）时，，函数递减， 在x∈（，1）时，，函数递

增。所以，函数在区间[0，1]的最小值为=1，所以  ②

由①，②可知，存在这样的a=1，使得对任意的x∈[0，1]成立…………………16分