Question

已知函数f（x）=aln（1+e^x）-（a+1）x，（其中a＞0），点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），C（x₃，f（x₃））从左到右依次是函数y=f（x）图象上三点，且2x₂=x₁+x₃．
（Ⅰ）证明：函数f（x）在（-∞，+∞）上是减函数；
（Ⅱ）求证：△ABC是钝角三角形；
（Ⅲ）试问△ABC能否是等腰三角形？若能，求△ABC面积的最大值；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）∵f（x）=aln（1+e^x）-（a+1）x，欲证函数f（x）在（-∞，+∞）上是单调减函数，只须证明其导数f′（x）＜0即可；
（Ⅱ）先设A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），C（x₃，f（x₃））且x₁＜x₂＜x₃，欲证：△ABC是钝角三角形，只须证明其中一个内角为钝角即可，结合向量的坐标运算，只须证明：即得；
（Ⅲ）假设△ABC为等腰三角形，则只能是，再利用平面内两点的距离公式将点的坐标代入计算，如出现矛盾，则△ABC不可能为等腰三角形，如不矛盾，则△ABC能是等腰三角形．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=aln（1+e^x）-（a+1）x，∴恒成立，
所以函数f（x）在（-∞，+∞）上是单调减函数．（3分）
（Ⅱ）证明：据题意A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），C（x₃，f（x₃））且x₁＜x₂＜x₃，
由（Ⅰ）知f（x₁）＞f（x₂）＞f（x₃），x₂=（4分）
可得A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），C（x₃，f（x₃））三点不共线
（反证法：否则，得x₁=x₃）
∴
∴（6分）
∵x₁-x₂＜0，x₃-x₂＞0，f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₃）-f（x₂）＜0，∴，∴
即△ABC是钝角三角形（8分）
（Ⅲ）假设△ABC为等腰三角形，则只能是
即：（x₁-x₂）²+[f（x₁）-f（x₂）]²=（x₃-x₂）²+[f（x₃）-f（x₂）]²∵x₂-x₁=x₃-x₂∴[f（x₁）-f（x₂）]²=[f（x₃）-f（x₂）]²
即2f（x₂）=f（x₁）+f（x₃）①（11分）
而事实上，②
由于，故（2）式等号不成立．这与（1）式矛盾．
所以△ABC不可能为等腰三角形．（13分）
点评：本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、数量积表示两个向量的夹角、两点间距离公式的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．