Question

如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．E，F分别在线段BC和AD上，EF∥AB，将矩形ABEF沿EF折起，记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF．

(Ⅰ)求证：NC∥平面MFD；

(Ⅱ)若EC＝3，求证：ND⊥FC；

(Ⅲ)求四面体NFEC体积的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

　　(1)证明：因为四边形MNEF、EFDC都是矩形，

　　所以MN∥EF∥CD，MN＝EF＝CD

　　所以四边形MNCD是平行四边形，……………………2分

　　所以NC∥MD，……………………3分

　　因为NC平面MFD，MD平面MFD，

　　所以NC∥平面MFD……………………4分

　　(II)证明：连接ED，设EDFC＝O．

　　因为平面MNEF平面ECDF，且NEEF，

　　由面面垂直的性质定理得NE平面ECDF……………………5分

　　因为FC平面ECDF，所以FCNE……………………6分

　　因为EC＝CD，所以四边形ECDF为正方形，所以FCED

　　又EDNE＝E，所以FC平面NED……………………7分

　　因为ND平面NED，所以NDFC……………………8分

　　(III)解：设NE＝X，则EC＝4－x，其中0＜x＜4

　　由(I)得NE平面FEC，

　　所以四面体NFEC的体积为………………10分

　　所以………………11分

　　当且仅当x＝4－x，即x＝2时，四面体NFEC的体积最大．………………12分