Question

设{a_n}为等比数列，T_n=na₁+（n－1）a₂+…+2a_n－1+a_n，已知T₁=1，T₂=4.

（1）求数列{a_n}的首项和公比；

（2）求数列{T_n}的通项公式.

 

Answer 1

答案：
解析：

解：（1）设等比数列{an}的公比为q，则T1=a1，T2=2a1+a2=a1（2+q） 又T1=1，T2=4，∴a1=1，q=2. （2）解法一：由（1）知：a=1，q=2，∴an=a1·qn－1=2n－1 ∴Tn=n·1+（n－1）·2+（n－2）·22+…+2·2n－2+1·2n－1　　　　    ① 2Tn=n·2+（n－1）·22+（n－2）·23+…+2·2n－1+1·2n　　　　　　    ② ②－①得Tn=n·2+（n－1）·22+…+2·2n－1+2n－［n·1+(n－1)2+…+2·2n－2+1·2n－1］ =－n+2+22+…+2n－1+2 =－n+=2n+1－（n+2） 解法二：设Sn=a1+a2+…+an，而an=2n－1 ∴Sn=1+2+…2n－1=2n－1 ∴Tn=na1+（n－1）a2+…+2an－1+an =a1+（a1+a2）+（a1+a2+a3）+…+（a1+a2+…+an－1+an） =S1+S2+…+Sn =（2－1）+（22－1）+…+（2n－1） =（2+22+…+2n）－n=2n+1－（n+2）