Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，直线BC₁与平面A₁BD所成角的余弦值是    ．

Answer 1

【答案】分析：设正方体的棱长等于1，建立如图空间直角坐标系，得出D、B、C₁、A₁各点的坐标，从而得出、、的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组解出=（1，-1，-1）是平面A₁BD的一个法向量，利用向量的夹角公式算出cos＜，＞的值，即得直线BC₁与平面A₁BD所成角的正弦值，最后利用同角三角函数关系可得直线BC₁与平面A₁BD所成角的余弦值．
解答：解：分别以DA、DC、DD₁为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系
设正方体的棱长等于1，可得
D（0，0，0），B（1，1，0），C₁（0，1，1），A₁（1，0，1），
∴=（-1，0，1），=（-1，0，-1），=（-1，-1，0）
设=（x，y，z）是平面A₁BD的一个法向量，
则，取x=1，得y=z=-1
∴平面A₁BD的一个法向量为=（1，-1，-1）
设直线BC₁与平面A₁BD所成角为θ，则
sinθ=|cos＜，＞|==
∴cosθ==，即直线BC₁与平面A₁BD所成角的余弦值是
故答案为：
点评：本题给出正方体模型，求直线与平面所成角的余弦值，着重考查了正方体的性质、利用空间向量研究直线与平面所成角等知识，属于中档题．