Question

16．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x+λ，x＜1}\\{{2}^{x}，x≥1}\end{array}\right.$（λ∈R），若对任意的a∈R都有f（f（a））=2^f（a）成立，则λ的取值范围是（　　）

• A． （0，2]
• B． [0，2]
• C． （-∞，2）
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 根据分段函数解析式的特点，分类讨论求出函数f（x）的值域，再求出f（f（a））和2^f（a）成立，即可求出λ的取值范围

解答 解：方法一：∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x+λ，x＜1}\\{{2}^{x}，x≥1}\end{array}\right.$（λ∈R），
任意的a∈R都有f（f（a））=2^f（a）成立，
∴f（a））≥1恒成立
∴λ-1≥1即可，
∴λ≥2，
方法二：当x＜1时，f（x）＞f（1）=λ-1，
当x≥1时，f（x）=2^x，f（x）≥2¹=2，
当λ-1≥2时，即λ≥3时，f（x）≥2，
当λ-1＜2时，即λ＜3时，f（x）≥λ-1，
∴①当λ≥3时，2^f（a）∈[4，+∞），f（f（a））≥2²=4
∴f（f（a））=2^f（a）恒成立
②当λ＜3时，2^f（a）∈[2^λ-1，+∞），
当2≤λ＜3时，f（f（a））≥2^λ-1，
∴f（f（a））=2^f（a）恒成立，
当λ＜2时，f（f（a））=-（λ-1）+λ=1，
f（f（a））=2^f（a）不恒成立，
综上所述λ≥2，
故选：D

点评 本题考查了不等式式恒成立的问题，以及参数的取值范围，关键是求出函数的值域，属于中档题