Question

7．已知点P，Q分别是抛物线C：x²=2py（p＞0）与圆M：x²+（y-p）²=1上的动点，且|PQ|的最小值为2，则抛物线C的焦点到准线的距离为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 求出y=$\frac{1}{2p}$x²的导数，设切点为（m，$\frac{{m}^{2}}{2p}$），由点斜式方程可得切线的方程，求出圆心和半径，由题意可得圆心到切线的最小值即为PQ的最小值加1，即为3．运用点到直线的距离公式，结合换元法和基本不等式即可得到所求最小值，即为抛物线的焦准距．

解答 解：x²=2py（p＞0）即y=$\frac{1}{2p}$x²的导数为y′=$\frac{x}{p}$，
设切点为（m，$\frac{{m}^{2}}{2p}$），可得抛物线的切线方程为y-$\frac{{m}^{2}}{2p}$=$\frac{m}{p}$（x-m），
化为mx-py-$\frac{{m}^{2}}{2}$=0，
圆M：x²+（y-p）²=1的圆心M（0，p），半径为1，
由题意可得圆心到切线的最小值即为PQ的最小值加1，即为3．
由M到切线的距离d=$\frac{|0-{p}^{2}-\frac{{m}^{2}}{2}|}{\sqrt{{m}^{2}+{p}^{2}}}$=$\frac{2{p}^{2}+{m}^{2}}{2\sqrt{{m}^{2}+{p}^{2}}}$，
可令t=$\sqrt{{m}^{2}+{p}^{2}}$，则m²=t²-p²，
则d=$\frac{2{p}^{2}+{t}^{2}-{p}^{2}}{2t}$=$\frac{1}{2}$（t+$\frac{{p}^{2}}{t}$）≥$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{t•\frac{{p}^{2}}{t}}$=p，
当且仅当t=p时，取得最小值p，
即有p=3．
则抛物线C的焦点到准线的距离为p=3．
故选：C．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，考查圆的方程的运用，以及转化思想，考查点到直线的距离公式和抛物线的切线方程的求法，考查基本不等式的运用：求最值，以及化简整理的运算能力，属于中档题．