Question

已知f（x）=（x-1）²（x＞1）的反函数是f^-1（x），且不等式f-1(x)≥m(m-

x

)在[

1

4

，

1

2

]上恒成立，则m的取值范围是（　　）

• A、[-1，

  3

  2

  ]
• B、(-1，

  3

  2

  )
• C、(-∞，-1]∪[

  3

  2

  ，+∞)
• D、[

  3

  2

  ，+∞)

Answer 1

分析：可依据题设中的条件求出f^-1（x），代入不等式f-1(x)≥m(m-

x

)，构造出函数g（x）=f-1(x)-m(m-

x

)，，求出其在[

1

4

，

1

2

]上的最值，转化出关于m的不等式，求其取值范围．

解答：解：由已知f（x）=（x-1）²（x＞1）的反函数是f^-1（x），故f^-1（x）=1+

x

故不等式f-1(x)≥m(m-

x

)可变为1+

x

≥m(m-

x

)，
即（1+m）

x

≥m²-1，即（1+m）

x

≥（m+1）（m-1）
若m=-1时显然成立
若m＞-1时，则有

x

≥m-1在[

1

4

，

1

2

]上恒成立，所以

1

2

≥m-1，得m≤

3

2

，故有-1＜m≤

3

2

当m＞-1时，则有

x

≤m-1在[

1

4

，

1

2

]上恒成立，此时m无解
综上知m∈[-1，

3

2

]
故选 A．

点评：本题考点是反函数，考查由反函数求函数的解析式，及利用函数的最值求不等式恒成立时参数的范围，不等式恒成立求参数的范围，常借用函数的最值来研究，请注意体会此类题解题的规律与技巧．本题中易错误认为不等式右边的最大值小于左边f^-1（x）的最小值，此为忽视不等式两边函数定义域相同，两边最值互相影响所致，做题时要注意正确转化莫出现此类错误．