Question

如右图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比，现有制箱材料60平方米，问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．

 

Answer 1

答案：
解析：

解法一  设y为流出的水中杂质的质量分数，则，其中k>0为比例系数．依题意，即所求的a，b值使y值最小． 根据题设，有4b+2ab+2a=60(a>0，b>0)， 得          ① 于是 当a+2=时取符号，y达到最小值． 这时a=6，a=－10（舍去）．将a=6代入①式得b=3． 故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小． 解法二 依题意，即所求的a，b值使ab最大． 由题设知  4b+2ab+2a=60 （a>0，b>0） 即 a+2b+ab=30  (a>0，b>0) ∵a+2b≥， ∴，当且仅当a=2b时，上式取等号． 由a>0， b>0，解得，0<ab≤18， 即当a=2b时，ab取得最大值，其最大值为18． ∴2b2=18．解得b=3，a=6． 故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．