Question

16．已知数列{a_n}前n项和为S_n，满足${S_n}=2{a_n}-2n（n∈{N^*}）$
（1）证明：{a_n+2}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）数列{b_n}满足${b_n}=log_2^{{a_n}+2}$，T_n为数列$\left\{{\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}}\right\}$的前n项和，若T_n＜a对正实数a都成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用数列递推关系、等比数列的通项公式即可得出．
（2）利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）证明：由题设${S_n}=2{a_n}-2n（n∈{N^*}），{S_{n+1}}=2{a_{n-1}}-2（n-1）（n≥2）$，
两式相减得a_n=2a_n-1+2…（2分）
即a_n+2=2（a_n-1+2）又a₁+2=4，所以{a_n+2}是以4为首项，2为公比的等比数列…（4分）${a_n}+2=4×{2^{n-1}}，{a_n}=4×{2^{n-1}}-2={2^{n+1}}-2（n≥2）$
又a₁=2，所以${a_n}={2^{n+1}}-2（n∈{N^*}）$…（6分）
（2）∵${b_n}=log_2^{{a_n}+2}$=$lo{g}_{2}{2}^{n+1}$=n+1．
∴$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$．…（8分）
所以${T_n}=（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）+…+（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）=\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}＜\frac{1}{2}$…（10分）
依题意得：$a≥\frac{1}{2}$…（12分）

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．