Question

正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁的边长为4,M、N、E、F分别是棱A₁D₁、A₁B₁、D₁C₁、B₁C₁的中点.求证:平面AMN∥平面EFBD.

Answer 1

证明：如图引进空间直角坐标系,则A(4,0,0),M(2,0,4),N(4,2,4),D(0,0,0),B(4,4,0),E(0,2,4),F(2,4,4).

取MN的中点G及EF的中点K,BD的中点Q,

则G(3,1,4),K(1,3,4),Q(2,2,0).

∴=(2,2,0),=(2,2,0),=(-1,1,4),=(-1,1,4).

可见,

∴MN∥EF,AG∥QK.

∴MN∥平面EFBD,AG∥平面EFBD.

又MN∩AG=G,

∴平面AMN∥平面EFBD.

绿色通道：

(1)证面面平行,要找两条不共线的向量;

(2)本题还可先求这两个平面的法向量,然后证明这两个法向量平行.