Question

如图，在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且＝＝λ(0＜λ＜1)．

(1)判断EF与平面ABC的位置关系并给予证明；

(2)是否存在λ，使得平面BEF⊥平面ACD，如果存在，求出λ的值，如果不存在，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)EF⊥平面ABC　　2分 　　证明：因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD，又在△BCD中，∠BCD＝90°， 　　所以BC⊥CD，又AB∩BC＝B， 　　所以CD⊥平面ABC，又在△ACD中，E、F分别是AC、AD上的动点，且＝＝λ(0＜λ＜1)， 　　∴EF∥CD，∴EF⊥平面ABC　　6分 　　(2)∵CD⊥平面ABC，BE?平面ABC，∴BE⊥CD， 　　在Rt△ABD中，∠ADB＝60°，∴AB＝BDtan60°＝，则AC＝， 　　当BE⊥AC时，BE＝＝，AE＝， 　　则＝＝，即λ＝＝时，BE⊥AC，又BE⊥CD，AC∩CD＝C，∴BE⊥平面ACD， 　　∵BE?平面BEF，∴平面BEF⊥平面ACD．所以存在λ，且当λ＝时，平面BEF⊥平面ACD　　12