Question

16．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2bcosC=2a-c．
（1）求角B的大小；
（2）若b=1，求a+c的最大值．

Answer 1

分析 （1）2bcosC=2a-c，由正弦定理可得：2sinBcosC=2sinA-sinC，又sinA=sin（B+C），化为：2cosBsinC=sinC，可得cosB=$\frac{1}{2}$，即可得出B．
（2）由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB，再利用基本不等式的性质、三角形三边大小关系即可得出．

解答 解：（1）∵2bcosC=2a-c，由正弦定理可得：2sinBcosC=2sinA-sinC，又sinA=sin（B+C），
∴2sinBcosC=2sinBcosC+2cosBsinC-sinC，
化为：2cosBsinC=sinC，
∵C∈（0，π），∴2cosB=1，即cosB=$\frac{1}{2}$．
又B∈（0，π），∴B=$\frac{π}{3}$．
（2）由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB，
∴1=（a+c）²-3ac≥（a+c）²-3×$（\frac{a+c}{2}）^{2}$，
化为：（a+c）²≤4，解得a+c≤2，当且仅当a=c=1时取等号．
又a+c＞b=1．
∴1＜a+c≤2．
∴a+c的最大值是2．

点评 本题考查了正弦定理的应用、解三角形、和差公式、三角形内角和定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．