Question

设x＞0，x≠1,求证：（1+xⁿ）(1+x)ⁿ＞2ⁿ⁺¹xⁿ(n∈N).

Answer 1

证明：（1）n=1时，左边=(1+x)²,右边=4x,

∵(1+x)²-4x=(1-x)²＞0,

∴(1+x)²＞4x.∴n=1时命题正确.

（2）假设n=k(k∈N且k≥1)时命题正确，即(1+x^k)(1+x)^k＞2^k+1x^k,则n=k+1时，（1+x^k+1）(1+x)^k+1-2^k+2x^k+1=(1+x^k+1)(1+x)^k+1-2x·2^k+1x^k＞(1+x^k+1)(1+x)^k+1-2x(1+x^k)(1+x)^k

=(1+x)^k［(1+x)(1+x^k+1)-2x(1+x^k)］

=(1+x)^k(1+x+x^k+1+x^k+2-2x-2x^k+1)

=(1+x)^k(1-x)(1-x^k+1),

∵x＞0且x≠1,

∴1-x与1-x^k+1同号.

∴（1+x）^k·(1-x)(1-x^k+1)＞0.

∴（1+x^k+1）(1+x)^k+1＞2^(k+1)+1x^k+1.

∴n=k+1时命题正确.