Question

求通过直线l：2x＋y＋4＝0及圆C：x²＋y²＋2x－4y＋1＝0的交点，并且有最小面积的圆的方程．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：画出如图示意图，圆C的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4． 　　设直线l与圆C交于A、B两点，D为AB的中点，由斜率为，过定点(－1，2)，得直线CD的方程为x－2y＋5＝0， 　　 　　∵以D为圆心，AB为直径的圆是面积最小的圆， 　　∴所求方程是(x＋)2＋(y－)2＝． 　　解法二：设圆的方程是(x2＋y2＋2x－4y＋1)＋λ(2x＋y＋4)＝0，即[[x＋(1＋λ)]] 　　 　　∴当λ＝时，圆面积最小，此时圆的方程是5x2＋5y2＋26x－12y＋37＝0． 　　思路分析：对于直线与圆的位置关系，一般不求直线与圆的交点，而用圆心到直线距离来处理直线与圆的问题．

提示：

圆中的最值问题一般都要利用数形结合思想进行求解．根据圆的性质，寻找最值取得的条件而求解，涉及所求的圆是经过直线与圆或圆与圆的交点时，也可利用圆系方程来求解，这样将较为简便．